{ 基礎演習と不完全競争 | 新経済数学入門

新経済数学入門

– ^{基礎演習と不完全競争} —

丹野 忠晋

i

はじめに

この本の原稿は，拙著『経済数学入門ー初歩から一歩ずつー』で書き 足りなかった基礎演習問題と応用として有益な経済学的なトピックスを 取り上げています．紙幅の都合上省略した説明も含めて分かりやすい補 助教材になるよう工夫を凝らしてあります．

おかげさまで拙著『一歩ずつ』は好評を持って迎えられました．しか し，自分が教科書として使っていたり他の方の声からいくつかの改善点 が出てきました．

第

1

に講義を受ける学生の基礎数学や経済数学の演習のための時間や 演習問題が不足していることです．そのため，難しい経済数学に入ると 少なくない学生が基礎的な計算でつまずく学生がいることです．ある程 度の高みに登ってから自分の弱点を補強したり，基礎事項を確認する必 要性が第

2

点です．できれば経済学の概念や高度な数学の理解に集中し て勉強できる態勢にするにはどうすべきかという問いにこの本の原稿は 応えます．

まずは基礎的な練習の部分です．学生は実際に問題を解くことによっ て理解が深まると感じています．そのため問いや例のただ数値を変えた 問題を数多く含めました．独学で知識を確認することができます．また，

教師にとって確認テストの教材として使うことができます．

次に経済学のパートでは微分を中心に拙著で取り上げた例題や問いを 詳しく解説しています．さらに経済厚生や不完全競争について触れてい ます．「ミクロ経済学」の不完全競争パートや「産業組織論」や「公共経 済学」の理論の基礎として利用できる資料を目指しました．

読者が直ぐに解答を見られないように問題は右ページに収めています．

解答後にページをめくると解答と解説があります．解答は正答だけでな く，問題に出てくる定義やヒントや躓きの石についてのコメントを付け てあります．それによって自分の勘違いが分かるように配慮しています．

教員は右ページをコピーして学生に演習として解かせることができま す．さらに，解答後にその解答のコピーを配付することによって，基礎 的な知識を確認するための時間を節約したり，学生に基礎概念を効率的 に確認することができます．

平成

31

年

2

月

14

日

丹野忠晋

3

第 1 ^{章 数と計算}

1.1

数と数式

問い

1

割り算を整数の範囲で考えて,123を

5

で割った商と余りを求め てください．また，商と余りの等式で表現してみてください．

問い

2 12

の因数を述べてください．

問い

3

次の数は素数でしょうか？(1) 31

(2) 91

問い

4

素因数分解してください．

(1) 60 (2) 312

1.2

有理数と計算

問い

5

次の計算を行ってください．(1) ¹

5

+

¹₃

(2)

¹₂

−

¹₃ 問い

6

次の計算を行ってください．(1) ¹

4

×

²₅

(2)

¹₂

÷

¹₃

問い

7

次の計算をしてください．

(1) 0.3/6 (2) 2/0.2 (3) 0.39 ÷ 0.03

1.3

実数と指数法則

問い

8 2

の平方根を求めてください．

問い

9

「

√

( − 3)

²

= − 3」は正しくないことを示してください．

問い

10

次の計算をしてください．

(1) √

9 (2) √ 36

問い

11

次を計算して下さい．

√ 12

√ 3

問い

12

次の分母を有理化して下さい．

2

√ 2

問い

13

次の数の絶対値を求めてください．

(3) | − 3 | (4) | 0 | (5) | 3 |

問い

14

次の計算をしてください．

(6) 3

³

(7) 3

³

· 3

²

(8) (3

³

)

²

(9) (3 · 5)

²

4

第

1

章 数と計算 解答

1

割り算は被除数

÷

除数という演算であり，被除数

=

商

×

除数

割り算は基本的な演算です

+

余りの関係があります．ただし，余りは除数よりも小さい数

0

以上の 数です．問題の答えは，商は

24，余りは 3

です．そして，

123 = 5 × 24 + 3

となります．

解答

2

ある数の因数とはその数をちょうど割り切る数です．つまり，そ

因数は因数分解でも使われる言葉で

すね の数を因数で割ると余りは

0

となります．問題の答えは，1,

2, 3, 4, 6, 12

となります．

解答

3

素数とは

2

以上の自然数で

1

と自分自身以外では割り切ること

言い換えると素数はその因数が1と 自分自身のみである数です

のできない数です．(1) 31は素数です．

(2) 91

は

7 × 13

と表わされる ので素数ではありません．

解答

4 (1) 60 = 2

²

· 3 · 5 (2) 312 = 2

³

· 3 · 13

解答

5

分数の足し算や引き算は，分数の分母を等しくさせる通分を行っ

a b +c

d= ad+bc

bd てから，その分子の計算をします．

a b −c

d= ad−bc

bd

(1)

¹₅

+

¹₃

=

₁₅³

+

₁₅⁵

=

₁₅⁷

(2)

¹₂

−

¹₃

=

³₆

−

²₆

=

¹₆

解答

6

分数の掛け算は，分子同士と分母同士を掛けて計算して新たな

a b ×c

d= ac

bd 分数とします．分数の割り算は，除数

(割る方の分数)

の分子と分母をひっ くり返して，被除数

(

割られる方の分数

)

との積を求めます．また，分数

a b ÷c

d= a b ×d

c=ad

bc の答えは既約分数にすると良いでしょう．既約分数とはもうこれ以上約 分できない分数を意味します．

a b ×b

d= a

d (bに斜線し1)

(1)

¹₄

×

²₅

=

¹₄^×_ײ₅

=

¹₂^×_×¹₅

=

₂₀¹

(2)

¹₂

÷

¹₃

=

¹₂

×

³₁

=

¹₂^×_׳₁

=

³₂

解答

7

小数が入った分数は，小数を分数に直してから計算すると上手 くいきます．

a b

c = a bc a

b c

=ac b

(1) 0.3/6 = 0.3 6 =

3 10

6 = 3

10 × 6 = 1

20 (2) 2/0.2 = 2

2 10

= 2 × 10 2 = 10 (3) 0.39 ÷ 0.03 = 0.39

0.03 =

39 100

3 100

= 39 3 = 13

a c b c

=a b

解答

8

ある数の平方根は，2乗するとその数に等しくなる数です．2乗

a >0の平方根は√ aと−√

a

することを平方するといいます．ある正の数には平方根は

2

つあります．

符号が正の方を正の平方根といい，また符号が負の方を負の平方根とい

0の平方根は√

0 = 0のみ

います．根号

√

を用いて，正数

a

の正の平方根を

√

a

と表わします．

答えは

√

2

と

− √

2

です．

解答

9

正しい答えは

√

( − 3)

²

= √

9 = 3

です．

√a=|a|

解答

10 (1) √ 9 = √

3

²

= 3

√a²=a (a >0)

(2) √ 36 = √

4 × 9 = √ 4 × √

9 = √ 2

²

× √

3

²

= 2 × 3 = 6

√ab=√a√

b (a, b >0)

解答

11

√ 12

√ 3 =

√ 12 3 = √

4 = 2

√a b =

√a

√b (a, b >0)